El álgebra (del árabe: الجبر, transliterado «al-jabr», que significa «reunión de partes rotas») es una parte de las matemáticas. Utiliza variables para representar un valor que aún no se conoce o que puede sustituirse por cualquier valor. Cuando se utiliza el signo igual (=), se habla de ecuación. Una ecuación muy sencilla que utiliza una variable es
2
+
3
=
x
{\displaystyle 2+3=x}
. En este ejemplo
x
=
5
{\displaystyle x=5}
, o también podría decirse que «
x
{\displaystyle x}
es igual a cinco». Esto se llama resolver para
x
{\displaystyle x}
Además de ecuaciones, existen desigualdades (menor que y mayor que). Un tipo especial de ecuación se llama función. Se utiliza a menudo para hacer gráficos porque siempre convierte una entrada en una salida.
El álgebra puede utilizarse para resolver problemas reales porque las reglas del álgebra funcionan en la vida real y los números pueden utilizarse para representar los valores de cosas reales. La física, la ingeniería y la programación informática son campos en los que se utiliza el álgebra constantemente. También es útil conocerla en topografía, construcción y negocios, sobre todo en contabilidad.
Las personas que se dedican al álgebra utilizan las reglas de los números y las operaciones matemáticas que se hacen con ellos. Las más sencillas son sumar, restar, multiplicar y dividir. En las operaciones más avanzadas intervienen los exponentes, empezando por los cuadrados y las raíces cuadradas.
El álgebra se utilizó por primera vez para resolver ecuaciones y desigualdades. Dos ejemplos son las ecuaciones lineales (la ecuación de una recta
y
=
m
x
+
b
{\displaystyle y=mx+b}
o
y
=
m
x
+
c
{\displaystyle y=mx+c}) y ecuaciones cuadráticas.
) y ecuaciones cuadráticas, que tienen variables que se elevan al cuadrado (multiplicadas por sí mismas, por ejemplo:
2
⋅
2
{\displaystyle 2\cdot 2}
,
3
⋅
3
{\displaystyle 3\cdot 3}
o
x
⋅
x
{\displaystyle x\cdot x}
).
Historia
Las primeras formas de álgebra fueron desarrolladas por los babilonios y los geómetras griegos, como Héroe de Alejandría. Sin embargo, la palabra «álgebra» es una forma latina de la palabra árabe Al-Jabr («fundición») y proviene de un libro de matemáticas Al-Maqala fi Hisab-al Jabr wa-al-Muqabilah, («Ensayo sobre el cálculo de la fundición y la ecuación») escrito en el siglo IX por un matemático persa, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, que era un musulmán nacido en Khwarizm en Uzbekistán. Floreció bajo el reinado de Al-Ma’moun en Bagdad (Irak) entre 813 y 833 d.C., y murió hacia 840 d.C. El libro llegó a Europa y se tradujo al latín en el siglo XII. El libro recibió entonces el nombre de «Álgebra». (La terminación del nombre del matemático, al-Khwarizmi, se cambió por una palabra más fácil de pronunciar en latín, y se convirtió en la palabra inglesa algorithm).
Ejemplos
Aquí tienes un ejemplo sencillo de un problema de álgebra:
Estos son los pasos que puedes seguir para resolver el problema:
Con la práctica, el álgebra puede utilizarse cuando nos enfrentamos a un problema demasiado difícil de resolver de otro modo. Problemas como construir una autopista, diseñar un teléfono móvil o encontrar la cura de una enfermedad requieren álgebra.
Escribir álgebra
Como en la mayor parte de las matemáticas, sumar
y
{\displaystyle y}
a
z
{\displaystyle z}
(o
y
{\displaystyle y}
más
z
{\displaystyle z}
) se escribe como
y
+
{\displaystyle y+z}
;
restando
z
{\displaystyle z}
de
y
{\displaystyle y}
(o
y
{\displaystyle y}
menos
z
{\displaystyle z}
) se escribe como
y
–
z
{\displaystyle y-z}
;
y dividiendo
y
{\displaystyle y}
por
z
{\displaystyle z}
(o
y
{\displaystyle y}
en
z
{\displaystyle z}
) se escribe como
y
/
z
{\displaystyle y/z}
o
y
z
{\displaystyle y \over z}
.
En álgebra, multiplicar
y
{\displaystyle y}
por
z
{\displaystyle z}
(o
y
{\displaystyle y}
veces
z
{\displaystyle z}
) puede escribirse de 3 formas diferentes:
y
⋅
z
{\displaystyle y\cdot z}
,
y
(
z
)
{\displaystyle y(z)}
o simplemente
y
z
{\displaystyle yz}
. Todas estas notaciones significan lo mismo:
y
{\displaystyle y}
veces
z
{\displaystyle z}
. El símbolo «
×
{\displaystyle \times }
«utilizado en aritmética no se utiliza en álgebra, porque se parece demasiado a la letra
x
{\displaystyle x}
que a menudo se utiliza como variable.
Cuando multiplicamos un número y una variable en álgebra, podemos escribir simplemente el número delante de la letra:
5
⋅
y
⟺
5
y
{\displaystyle 5\cdot y\iff 5y}
. Cuando el número es 1, entonces no se escribe porque 1 veces cualquier número es ese número (
1
⋅
y
=
y
{\displaystyle 1\cdot y=y}
) y por lo tanto no es necesario. Y cuando es 0, podemos eliminar completamente los términos, porque 0 veces cualquier número es cero (
0
⋅
y
=
0
{\displaystyle 0\cdot y=0}
).
Como nota al margen, no es necesario utilizar las letras
x
{\displaystyle x}
o
y
{\displaystyle y}
en álgebra. Las variables son sólo símbolos que significan algún número o valor desconocido, por lo que se puede utilizar cualquier letra para una variable (excepto
e
{\displaystyle e}
(número de Euler) e
i
{\displaystyle i}
(Unidad imaginaria), porque son constantes matemáticas).
x
{\displaystyle x}
y
y
{\displaystyle y}
son los más comunes.
Funciones y gráficas
Una parte importante del álgebra es el estudio de las funciones, ya que a menudo aparecen en ecuaciones que intentamos resolver. Una función es como una máquina en la que puedes introducir un número (o números) y obtener un número (o números) determinado. Al utilizar funciones, las gráficas pueden ser herramientas poderosas que nos ayuden a estudiar las soluciones de las ecuaciones.
Una gráfica es un dibujo que muestra todos los valores de las variables que hacen que la ecuación o desigualdad sea cierta. Suele ser fácil de hacer cuando sólo hay una o dos variables. La gráfica suele ser una recta, y si la recta no se curva ni va recta de arriba abajo, se puede describir mediante la fórmula básica
y
=
m
x
+
b
{\displaystyle y=mx+b} .
. La variable
b
{\displaystyle b}
es la intersección y de la gráfica (donde la recta cruza el eje vertical) y
m
{\displaystyle m}
es la pendiente o inclinación de la recta. Esta fórmula se aplica a las coordenadas de una gráfica, donde cada punto de la recta se escribe (
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
).
En algunos problemas matemáticos, como la ecuación de una recta, puede haber más de una variable (
x
{\displaystyle x}
y
y
{\displaystyle y}
en este caso). Para encontrar puntos en la recta, se cambia una variable. La variable que se cambia se llama variable «independiente». Luego se hace la operación matemática para obtener un número. El número obtenido se llama variable «dependiente». La mayoría de las veces la variable independiente se escribe como
x
{\displaystyle x}
y la variable dependiente se escribe como
y
{\displaystyle y}
por ejemplo, en
y
=
3
x
+
1
{\displaystyle y=3x+1} .
. Esto se pone a menudo en un gráfico, utilizando una
x
{\displaystyle x}
(que va de izquierda a derecha) y un eje
y
{\displaystyle y}
(hacia arriba y hacia abajo). También se puede escribir en forma de función
f
(
x
)
=
3
x
+
1
{\displaystyle f(x)=3x+1}
. Así que en este ejemplo, podríamos poner 5 para
x
{\displaystyle x}
y obtener
y
=
16
{\displaystyle y=16} .
. Pon 2 para
x
{\displaystyle x}
obtendría
y
=
7
{\displaystyle y=7}
. Y 0 para
x
{\displaystyle x}
obtendría
y
=
1
{\displaystyle y=1}
. Por tanto, habría una recta que pasaría por los puntos (5,16), (2,7) y (0,1) como se ve en la gráfica de la derecha.
Si
x
{\displaystyle x}
tiene una potencia de 1, es una línea recta. Si es al cuadrado o alguna otra potencia, será curva. Si utiliza una desigualdad (
{\displaystyle<}
o «>{\displaystyle>}
}»>), entonces por lo general parte de la gráfica está sombreada, ya sea por encima o por debajo de la línea.
Reglas
En álgebra, hay algunas reglas que se pueden utilizar para comprender mejor las ecuaciones. Son las llamadas reglas del álgebra. Aunque estas reglas puedan parecer absurdas u obvias, conviene comprender que estas propiedades no se mantienen en todas las ramas de las matemáticas. Por lo tanto, será útil saber cómo se declaran estas reglas axiomáticas, antes de darlas por sentadas. Antes de pasar a las reglas, reflexione sobre dos definiciones que se darán.
Conmutativa» significa que una función tiene el mismo resultado si se intercambian los números. En otras palabras, el orden de los términos en una ecuación no importa. Cuando se suman dos términos (sumandos), se aplica la «propiedad conmutativa de la suma». En términos algebraicos, se obtiene
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a} .
Nótese que esto no se aplica para la resta (es decir
a
–
b
≠
b
–
a
{\displaystyle a-b\neq b-a}
excepto si
a
=
b
{\displaystyle a=b}
).
Cuando se multiplican dos términos (factores), se aplica la «propiedad conmutativa de la multiplicación». En términos algebraicos, se obtiene
a
⋅
b
=
b
⋅
a
{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
Tenga en cuenta que esto no se aplica a la división (es decir
a
b
≠
b
a
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}
cuando
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
y
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
excepto si
a
=
b
{\displaystyle a=b}
).
Asociativo» se refiere a la agrupación de números. La propiedad asociativa de la suma implica que, al sumar tres o más términos, no importa cómo estén agrupados. Algebraicamente, esto da
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} .
. Obsérvese que esto no es válido para la resta, por ejemplo
1
–
(
2
–
3
)
≠
(
1
–
2
)
–
3
{\displaystyle 1-(2-3)\neq (1-2)-3}
(ver propiedad distributiva).
La propiedad asociativa de la multiplicación implica que, al multiplicar tres o más términos, no importa cómo estén agrupados. Algebraicamente, esto da
a
(
b
c
)
=
(
a
b
)
c
{\displaystyle a(bc)=(ab)c}
. Obsérvese que esto no es válido para la división, por ejemplo
1
/
(
2
/
4
)
≠
(
1
/
2
)
/
4
{\displaystyle 1/(2/4)\neq (1/2)/4}
La propiedad distributiva establece que la multiplicación de un término por otro término se puede distribuir. Por ejemplo
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
{\displaystyle a(b+c)=ab+ac}.
. (¡No confundir esto con las propiedades asociativas! Por ejemplo
a
(
b
+
c
)
≠
(
a
b
)
+
c
{\displaystyle a(b+c)\neq (ab)+c}
.)
Por «identidad» se entiende la propiedad de un número de ser igual a sí mismo. En otras palabras, existe una operación de dos números tal que es igual a la variable de la suma. La propiedad aditiva de identidad establece que cualquier número más 0 es ese número:
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
. Esto también es válido para la resta:
a
–
0
=
a
{\displaystyle a-0=a}
La propiedad de identidad multiplicativa establece que cualquier número multiplicado por 1 es ese número:
a
⋅
1
=
a
{\displaystyle a\cdot 1=a}
. Esto también es válido para la división
a
1
=
a
{\displaystyle {\frac {a}{1}}=a}
La propiedad aditiva inversa es algo así como lo contrario de la identidad aditiva. Cuando sumamos un número y su opuesto, el resultado es 0. Algebraicamente, dice lo siguiente:
a
+
–
a
=
0
{\displaystyle a+-a=0}
que es lo mismo que
a
–
a
=
0
{\displaystyle a-a=0}
. Por ejemplo, el inverso aditivo (u opuesto) de 1 es -1.
La propiedad inversa multiplicativa significa que cuando multiplicamos un número y su inverso, el resultado es 1. Algebraicamente, dice lo siguiente:
a
⋅
1
a
=
1
{\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1}
que es lo mismo que
a
a
=
1
{\displaystyle {\frac {a}{a}}=1}
. Por ejemplo, el inverso multiplicativo (o simplemente inverso) de 2 es 1/2. Para obtener la inversa de una fracción, intercambia el numerador y el denominador: la inversa de
2
3
{\disp
laystyle {\frac {2}{3}}
es
3
2
{\displaystyle {\frac {3}{2}}
.
Álgebra avanzada
Además del «álgebra elemental», o álgebra básica, existen formas avanzadas de álgebra, que se enseñan en colegios y universidades, como el álgebra abstracta, el álgebra lineal y el álgebra universal. Esto incluye cómo utilizar una matriz para resolver muchas ecuaciones lineales a la vez. El álgebra abstracta es el estudio de las cosas que se encuentran en las ecuaciones, yendo más allá de los números hacia lo más abstracto con grupos de números.
Muchos problemas de matemáticas tienen que ver con la física y la ingeniería. En muchos de estos problemas de física el tiempo es una variable. La letra utilizada para el tiempo es
t
{\displaystyle t}
. Utilizar las ideas básicas del álgebra puede ayudar a reducir un problema matemático a su forma más simple, facilitando la resolución de problemas difíciles. La energía es
e
{\displaystyle e}
la fuerza es
f
{\displaystyle f}
la masa es
m
{\displaystyle m}
la aceleración es
a
{\displaystyle a}
y la velocidad de la luz es a veces
c
{\displaystyle c}
. Esto se utiliza en algunas ecuaciones famosas, como
f
=
m
a
{\displaystyle f=ma}
y
e
=
m
c
2
{\displaystyle e=mc^{2}}
(aunque para llegar a esa última ecuación se necesitaron matemáticas más complejas que el álgebra).