Una ecuación diofantina es una ecuación que sólo tiene coeficientes enteros, y que se puede escribir como
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
.
.
.
,
x
n
)
=
0
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n})=0}
donde f es un polinomio. El análisis diofantino es una rama del análisis matemático que se ocupa de este tipo de ecuaciones. Las preguntas típicas son:
A menudo, estos problemas quedaron sin resolver durante siglos. Con el tiempo, los matemáticos llegaron a comprender su profundidad (en algunos casos), en lugar de tratarlos como rompecabezas. La ecuación debe su nombre al matemático Diofanto de Alejandría, que fue el primero en describirlas. La restricción de coeficientes enteros tiene sentido cuando se trata de encontrar divisores o en el caso de la aritmética modular. En la vida cotidiana, muchas ecuaciones resuelven problemas en los que sólo tienen sentido los números enteros: Un producto se compone de muchas partes, pero sólo se pueden obtener piezas enteras.
Algunas ecuaciones diofánticas son muy famosas. Entre ellas se encuentran el triple de Pitágoras, el último teorema de Fermat y la ecuación de Pell. El décimo problema de Hilbert consistía en encontrar un algoritmo para decidir si una ecuación diofantina dada tiene una solución entera.