El factorial de un número entero
n
{\displaystyle n}
escrito como
n
¡!
{\displaystyle n!}
o
n
{\displaystyle n}
se obtiene multiplicando
n
{\displaystyle n}
por todos los números enteros menores que él. Por ejemplo, el factorial de 4 es 24, porque
4
×
3
×
2
×
1
=
24
{\displaystyle 4\times 3\times 2\times 1=24}
. Por lo tanto, se puede escribir
4
¡!
=
24
{\displaystyle 4!=24}
. Por algunas razones técnicas, ¡0! es igual a 1.
Los factoriales se pueden utilizar para averiguar cuántas formas posibles hay de ordenar
n
{\displaystyle n}
objetos.
Por ejemplo, si hay 3 letras (A, B y C), pueden colocarse como ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. Son 6 opciones porque A puede colocarse en 3 lugares diferentes, a B le quedan 2 opciones después de colocar A y a C sólo le queda una opción después de colocar A y B. Es decir
3
×
2
×
1
=
6
{\displaystyle 3\times 2\times 1=6}
opciones.
La función factorial es un buen ejemplo de recursividad (hacer las cosas una y otra vez), ya que
3
¡!
{\displaystyle 3!}
puede escribirse como
3
×
2
¡!
{\displaystyle ¡3 veces 2!}
que puede escribirse como
3
×
2
×
1
¡!
{\displaystyle 3\times 2\times 1!}
y finalmente como
3
×
2
×
1
×
0
¡!
{\displaystyle 3\times 2\times 1\times 0!}
. Debido a esto
n
¡!
{\displaystyle n!}
también puede definirse como
n
×
(
n
–
1
)
¡!
{\displaystyle n\times (n-1)!}
con
0
¡!
=
1
{\displaystyle 0!=1}
La función factorial crece muy rápido. Hay
10
¡!
=
3
,
628
,
800
{\displaystyle 10!=3,628,800}
formas de ordenar 10 elementos.
Aplicaciones
Los primeros usos de la función factorial implican contar permutaciones: hay
n
¡!
{\displaystyle n!}
formas diferentes de disponer
n
{\displaystyle n}
objetos distintos en una secuencia. Los factoriales aparecen más ampliamente en muchas fórmulas de combinatoria, para dar cuenta de diferentes ordenaciones de objetos. Por ejemplo, los coeficientes binomiales
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}
cuentan los
k
{\displaystyle k}
-(subconjuntos de
k
{\displaystyle k}
elementos) de un conjunto con
n
{\displaystyle n}
y puede calcularse a partir de factoriales mediante la fórmula
Varias otras secuencias de números enteros son similares o están relacionadas con los factoriales:
Notas
Los factoriales no están definidos para números negativos. Sin embargo, la función gamma relacionada (
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
) se define sobre los números reales y complejos (excepto para los enteros negativos).