En matemáticas, el sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto de un plano viene determinado por una distancia respecto a un punto de referencia y un ángulo respecto a una dirección de referencia.
El sistema de coordenadas polares es especialmente útil en situaciones en las que la relación entre dos puntos se expresa más fácilmente con ángulos y distancias; en el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, más familiar, tal relación sólo puede hallarse mediante fórmulas trigonométricas.
Como el sistema de coordenadas es bidimensional, cada punto viene determinado por dos coordenadas polares: la coordenada radial y la coordenada angular. La coordenada radial (normalmente denominada
r
r
) denota la distancia del punto a un punto central conocido como polo (equivalente al origen en el sistema cartesiano). La coordenada angular (también conocida como ángulo polar o ángulo acimutal, y normalmente denotada por θ o
t
t
) denota el ángulo positivo o antihorario (en sentido contrario a las agujas del reloj) necesario para alcanzar el punto desde el rayo 0° o eje polar (que equivale al eje x positivo en el plano de coordenadas cartesianas).
Historia
Los conceptos de ángulo y radio ya eran utilizados por los pueblos antiguos del primer milenio antes de Cristo. Hiparco (190-120 a.C.) creó una tabla de funciones de cuerda que indicaba la longitud de la cuerda para cada ángulo, y hay referencias a su uso de coordenadas polares para establecer posiciones estelares.
En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, la obra griega no se extendió a un sistema de coordenadas completo.
Existen varios relatos sobre la introducción de las coordenadas polares como parte de un sistema de coordenadas formal. La historia completa del tema se describe en la obra Origin of Polar Coordinates, del profesor de Harvard Julian Lowell Coolidge. Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron los conceptos de forma independiente a mediados del siglo XVII. Saint-Vincent escribió sobre ellas en privado en 1625 y publicó su obra en 1647, mientras que Cavalieri publicó la suya en 1635, apareciendo una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó por primera vez las coordenadas polares para resolver un problema relativo al área dentro de una espiral de Arquímedes. Posteriormente, Blaise Pascal utilizó las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos.
En Method of Fluxions (escrito en 1671, publicado en 1736), Sir Isaac Newton examinó las transformaciones entre las coordenadas polares, a las que denominó «Séptima Manera; Para Espirales», y otros nueve sistemas de coordenadas. En la revista Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli utilizó un sistema con un punto sobre una línea, denominados polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se especificaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli se extendió a la búsqueda del radio de curvatura de curvas expresadas en estas coordenadas.
El término coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana y fue utilizado por escritores italianos del siglo XVIII. El término apareció en inglés en la traducción de George Peacock de 1816 del Cálculo diferencial e integral de Lacroix. Alexis Clairaut fue el primero en pensar en las coordenadas polares en tres dimensiones, y Leonhard Euler fue el primero en desarrollarlas.
Conversión entre coordenadas polares y cartesianas
Las coordenadas polares r y φ pueden convertirse en coordenadas cartesianas x e y utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno:
Las coordenadas cartesianas x e y pueden convertirse en coordenadas polares r y φ con r ≥ 0 y φ en el intervalo (-π, π] mediante:
Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas toman la misma idea que las coordenadas polares, pero la amplían aún más. Para obtener una tercera dimensión, cada punto tiene también una altura sobre el sistema de coordenadas original. Cada punto se identifica unívocamente por una distancia al origen, llamada aquí r, un ángulo, llamado
ϕ
{\displaystyle \phi }
(phi), y una altura sobre el plano del sistema de coordenadas, llamada Z en la imagen.
Coordenadas esféricas
La misma idea que se utiliza en las coordenadas polares puede extenderse de otra manera. En lugar de utilizar dos distancias y un solo ángulo, es posible utilizar una sola distancia y dos ángulos, llamados
ϕ
{\displaystyle \phi }
y
θ
{\displaystyle \theta }
(theta).